积分是微分的逆运算。在微分的定义中,我们知道,函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。也就是说,如果函数 f(x) 在某点的导数是 f'(x),那么当我们在 x 点进行一个很小的变化 Δx 时,函数 f(x) 的变化量 Δf(x) 可以近似表示为 f'(x) Δx。
积分的基本思想是将一个函数在某个区间上的微小变化量累加起来,得到这个函数在该区间上的总变化量。具体来说,定积分 ∫f(x)dx 表示函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的积分,它等于函数 f(x) 在这个区间上所有微小变化量的总和。
对于常数函数 f(x) = 1,其导数 f'(x) = 0,因为常数函数在任何点的变化率都是0。然而,当我们考虑不定积分 ∫1dx 时,我们实际上是在寻找一个函数,其导数是1。根据微分的定义,我们知道,如果函数的导数是1,那么这个函数应该是 x 加上一个常数 C。
因此,不定积分 ∫1dx 的结果可以表示为 x + C,其中 C 是积分常数。当我们在某个特定的区间上计算定积分时,积分常数 C 通常会被忽略,因为它在计算区间 [a, b] 上的积分时,会被加到函数值的两端,从而相互抵消。
所以,当我们计算定积分 ∫1dx(假设积分区间为 [1, x])时,结果是 x 1 + C C,即 x。这是因为积分常数在区间的两端相互抵消了。
总结一下,∫1dx 等于 x 是因为不定积分 ∫1dx 的结果是一个导数为1的函数,即 x + C,而在计算定积分时,积分常数会被忽略。