sec^3x的原函数

sec3(x) 的原函数可以通过积分得到。原函数是指一个函数的不定积分，也就是它的反导数。

对于 sec3(x) 的积分，我们可以使用分部积分法。将 sec3(x) 写成 sec(x) sec2(x)，然后利用 sec2(x) = tan2(x) + 1，我们可以将积分分解为两个部分：

∫ sec3(x) dx = ∫ sec(x) sec2(x) dx = ∫ sec(x) (tan2(x) + 1) dx

接下来，我们使用分部积分法，设 u = sec(x)，dv = (tan2(x) + 1) dx，那么 du = sec(x)tan(x) dx，v = ∫ (tan2(x) + 1) dx。

现在，我们计算 v：

v = ∫ tan2(x) dx + ∫ 1 dx

= ∫ (sec2(x) 1) dx + x

= tan(x) x + x

= tan(x)

因此，分部积分的结果是：

∫ sec3(x) dx = sec(x) tan(x) ∫ tan(x) sec(x)tan(x) dx

注意到 ∫ tan(x) sec(x)tan(x) dx 就是 ∫ tan2(x)sec(x) dx，这和我们的原始积分是相同的，所以我们可以将其写为：

∫ sec3(x) dx = sec(x) tan(x) ∫ sec3(x) dx + C

这里 C 是积分常数。为了解这个方程，我们将 ∫ sec3(x) dx 移到等式的一边：

2∫ sec3(x) dx = sec(x) tan(x) + C

我们得到 sec3(x) 的原函数：

∫ sec3(x) dx = (1/2)sec(x) tan(x) + (1/2)lnsec(x) + tan(x) + C

这就是 sec3(x) 的原函数。